斜拉橋拉索自振頻率分析
2018-04-16
1. 引言
隨斜拉橋跨度的不斷增大，斜拉索變得越來越長，因為索的大柔度、小質(zhì)量和小阻尼等特點，極易在風(fēng)雨、地震及交通等荷載激勵下發(fā)生振動[1]。長拉索前幾階頻率在0.2-0.3Hz時，模態(tài)阻尼比只有0.1%，更有可能發(fā)生大幅的擺動。迄今，已有許多斜拉索風(fēng)致振動的報導(dǎo)：日本結(jié)構(gòu)工程協(xié)會(Japan Institute of Construction Engineering) 在1988 年一年內(nèi)對日本的五座斜拉橋斜拉索振動進行了觀測和測量，發(fā)現(xiàn)它們的最大振幅如下：Brotoni橋達600毫米，Kofin橋達1000毫米，Meikeh橋達600毫米，Aratsu橋達300毫米，大約為直徑的兩倍。在國內(nèi)，1992 年南浦大橋在一次風(fēng)雨聯(lián)合作用的情況下浦西岸尾部幾根斜拉索發(fā)生了較大的振動；楊浦大橋尾索在風(fēng)雨共振作用下也發(fā)生過劇烈的振動，最大振幅超過l米。2001年，在南京長江二橋通車前，橋上斜拉索在風(fēng)雨激振下發(fā)生大幅擺動，導(dǎo)致安裝在梁端的部分油阻尼器損壞[3-5]。
目前對斜拉索風(fēng)致振動的研究主要集中在單索的風(fēng)致振動，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的斜拉索可能的振動類型主要包括以下六類：(1) 順向風(fēng)振動；(2) 風(fēng)雨激振；(3) 橫風(fēng)向馳振；(4) 渦激共振；(5) 參數(shù)共振。
1. 順向風(fēng)振動是拉索振動最常見的一種。由于風(fēng)速可以分解為平均風(fēng)速和脈動風(fēng)速，風(fēng)對拉索的作用也表現(xiàn)為平均風(fēng)引起的靜內(nèi)力、靜位移和脈動風(fēng)引起拉索的振動響應(yīng)，包括動內(nèi)力、動位移和振動加速度。
2. 在拉索的風(fēng)致振動中，風(fēng)雨激振是最激烈的形式之一。風(fēng)雨激振現(xiàn)象是由日本學(xué)者于1986年首先發(fā)現(xiàn)的。其后在歐洲，我國等多個國家都觀察到這一現(xiàn)象。在干燥的氣候條件下穩(wěn)定的拉索，而在風(fēng)和雨的共同作用下，由于雨線的出現(xiàn)，使拉索變得不再穩(wěn)定。拉索發(fā)生風(fēng)雨激振的特點為大、中、小雨狀態(tài)下皆可能發(fā)生拉索的風(fēng)雨激振，一般長索發(fā)生風(fēng)雨激振的可能性較大，而靠近塔柱處的短索發(fā)生這一振動的可能性較小，一般發(fā)生在包裹的具有光滑表面的拉索，風(fēng)雨激振時，拉索常以單模態(tài)振動，振動的頻率一般為拉索的一階模態(tài)頻率。已經(jīng)觀察到有塔的背風(fēng)面索面振動較大而塔的迎風(fēng)面索面振動較小的情況。在一座橋上，常有多根拉索同時發(fā)生風(fēng)雨激振。
3. 橫風(fēng)向馳振是指拉索在垂直于風(fēng)向上發(fā)生微小速度時，這個速度便和風(fēng)速合成一個對索的迎風(fēng)面形成一定角度的合成速度，同時產(chǎn)生垂直風(fēng)向的力分量，這種作用不斷加強，就會使拉索產(chǎn)生激烈的橫風(fēng)向振動，振幅可達1~10倍拉索的直徑[8]。拉索的橫向風(fēng)馳振屬于發(fā)散性振動。尾流馳振是拉索的另一種馳振形式，兩索沿風(fēng)向斜列時，來流方向的下游拉索將發(fā)生比上游拉索更強烈的一種風(fēng)致振動。上游拉索的尾流中存在一個不穩(wěn)定馳振區(qū)，如果下游拉索正好位于這一不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，其振動幅值就會不斷加大，直至達到一個穩(wěn)態(tài)大振幅的極限環(huán)。當兩拉索相距較遠時，超出尾流馳振不穩(wěn)定區(qū)時，就不會發(fā)生尾流馳振[2]。
4. 拉索的渦激共振。風(fēng)作用在圓截面拉索，產(chǎn)生交替脫落的漩渦此即所謂的卡門漩渦，拉索在橫向風(fēng)上被周期性驅(qū)動。當渦旋的脫落頻率與拉索的某階自振頻率相接近或相等時，出現(xiàn)頻率鎖定現(xiàn)象，引起拉索在橫風(fēng)向上較大的運動，即橫風(fēng)向渦激振[3]。
5. 參數(shù)振動。對已建和在建的斜拉橋觀測表明，在無風(fēng)和風(fēng)荷載很小的情況下，個別拉索有時會發(fā)生十分強烈的橫向振動。研究表明，當橋面的某階振動頻率接近拉索的振動頻率的2倍時，拉索將可能發(fā)生自激共振現(xiàn)象，從而引起拉索的大幅振動，這種振動也稱為參數(shù)振動[2]。
拉索的風(fēng)雨激振和參數(shù)共振都是強非線性振動，能引起拉索的大幅振蕩，對拉索具有相當大的破壞性。對拉索進行動力學(xué)分析，其自振頻率則是十分重要的參數(shù)。與此同時，由風(fēng)雨激振和參數(shù)共振發(fā)生的機理可知，這兩種大幅振動的發(fā)生與拉索自身的振動頻率密切相關(guān)，因此有必要對拉索自振頻率進行分析。
2. 拉索自振頻率解析解
運用數(shù)理方程知識，拉索的自振頻率可由解析的方法計算得到，具體過程如下。
設(shè)有一根均勻、柔軟而且有彈性的拉索 ，其長度為 ，建立如圖1坐標系，設(shè)拉索被拉緊成直線狀。當它在平衡位置附近作垂直于 方向的微小振動，并且在振動過程中拉索始終保持在同一平面，用 表示拉索上任意一點 ，在任意時刻 沿著垂直于 方向的位移。顯然，拉索的微小橫振動可以用函數(shù) 來描述。
圖1拉索示意圖
在拉索上任取一小段弧長 。由于拉索的振動是微小的，故可以認為拉索在振動過程中并未伸長，即 的長度 。由胡克定律知，拉索上各點處的張力 的大小都相同且不隨時間變化，即 是常數(shù)。又由于拉索是柔軟的，因此拉索抵抗彎曲的能力非常小，可以忽略不計，即認為拉索的抗彎剛度為零，故 的方向總是沿著拉索的切線方向。
任取拉索上微小的一段弧長 為隔離體，在 時刻的受力情況如圖2所示。
圖2拉索隔離體受力分析
由受力分析知，作用在微段 上的力有：點 處的張力 ，它在 軸的分力為 ；點 處的張力 ，它在 軸的分力為 ；設(shè)拉索的單位長度質(zhì)量為 。
根據(jù)達朗伯原理得
??； (1)
因為 ，故
(2)
又由于拉索做微小振動時，振幅很小，切線的傾角 也很小，故 就很小，以致 <<1，可以忽略不計，因此有
(3)
同理
(4)
于是得
(5)
同除以 得
(6)
令 取極限得
(7)
記 ，則可以簡寫成
(8)
線性方程中的變量可分離，而且振動是簡諧振動，因此，方程式中的解可以寫成
(9)
式中： ，為圓頻率，單位為 ； 為振型函數(shù)，可由下式解出。
由
(10)
得
(11)
由于兩端為鉸支座
；(12)
；(13)
于是有
， ； (14)
要 ，則必須
；(15)
則
(16)
由此可得不考慮彎曲剛度時，拉索橫向振動的固有頻率
(17)
式中
―拉索的軸向拉力 ；
―拉索的長度 ；
―拉索單位長度的質(zhì)量 ；
―第 階振型，
相應(yīng)的振型為
(18)
考慮彎曲剛度時，分析過程同上，拉索橫向振動的固有頻率為
(19)
式中
―拉索的軸向拉力 ；
―拉索的長度 ；
―拉索單位長度的質(zhì)量 ；
―第 階振型， ；
―考慮了拉索彎曲剛度的修正系數(shù)；
(20)
式中
―拉索的彈性模量 ；
―拉索的慣性矩 。
3. 拉索有限元建模
3.1. 拉索建模的方法
斜拉橋拉索有限元建模主要有三種方法：等效彈性模量法、多段直桿法和曲線索單元法。
等效彈性模量法由Pippard和Chitty于1944年在分析拉桿時提出，后來Ernst等人將其引入拉索的建模中。它是用考慮了垂度變換影響的有效彈性模量的直桿代替懸索。由于等效彈性模量法的精度限制，它主要用于初步設(shè)計，而不宜用于高精度的詳細分析中。Ernst公式中等效彈性模量與拉索的軸應(yīng)力是有關(guān)系的（軸應(yīng)力出現(xiàn)在等效彈性模量的表達式中），在實際計算中也不簡單，需要迭代求解。
多段直桿法的想法基于基本的微積分思想，這種想法在懸索橋的模擬中早就提了出來。將拉索離散成一串無質(zhì)量的、鉸接的連桿，并且軸向剛度采用Pugsley提出的重力剛度；主纜自重和其他任意荷載集中作用在連桿的節(jié)點上。隨著連桿數(shù)目的增多，這個體系將趨于真實情況。無窮多的連桿能模擬纜索的真實受力狀態(tài)，實際應(yīng)用中，有限多的連桿就具有了足夠的精度。
曲線索單元法將拉索分成一個或多個曲線單元，其單元剛度矩陣由多項式或拉格朗日差值函數(shù)通過在公共節(jié)點上的連續(xù)性來確定。也有些曲線單元從拉索的真實形狀（懸鏈線）出發(fā)。
相比之下，采用多段直桿法比較方便。ABAQUS中提供了非線性分析的能力和一些常見的桿件單元，合理地利用它們足以在設(shè)計要求允許的精度范圍內(nèi)模擬拉索的力學(xué)行為。
3.2. 單元的選擇
ABAQUS中沒有現(xiàn)成的索單元，根據(jù)拉索的受力特點，只能承受拉力，不能承受壓力，且抗彎剛度可以忽略不計，選擇二維兩節(jié)點的Truss單元(T2D2)進行模擬。T2D2單元只有一個自由度，只能反映軸向力的變化，而初始應(yīng)力使得桿單元中只有拉應(yīng)力，且由于初始應(yīng)力很大，在后續(xù)分析中，桿單元中不會出現(xiàn)壓應(yīng)力；Truss單元之間采用鉸接，即沒有抗彎剛度，以上與拉索的力學(xué)特點十分相似，故采用鉸接T2D2單元模擬拉索，和實際情況比較接近。
3.3. 模型的建立
本文中采用 個鉸接的桿單元模擬拉索的行為。拉索兩邊的支承用鉸支座模擬，與實際情況比較接近。具體模型如圖3所示。
圖3拉索模型示意圖
4. 算例分析
采用文獻[4]中某工程實例，拉索的具體參數(shù)如下。
1. 材料參數(shù)：
彈性模量 ；泊松比 ；拉索的換算密度 。
2. 邊界條件：
實際中，拉索兩端與主梁和橋塔是鉸接的，所以模型的兩端采用鉸支座來模擬約束條件。
3. 初始條件：
預(yù)應(yīng)力 。
4. 幾何尺寸：
拉索長度為 ；截面面積為 。
把本模型拉索的參數(shù)代入公式(17)，計算得拉索的第一階至第十階的自振頻率，結(jié)果見表1。
拉索第一階至第十階自振頻率解析解表1
自振頻率階次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻率解析解
1.147 2.295 3.442 4.590 5.737 6.885 8.032 9.180 10.327 11.474
根據(jù)問題的性質(zhì)選擇ABAQUS的Linear perturbation計算方法中的frequency作為分析步。
運用ABAQUS對模型進行分析計算，得到拉索第一至第十階的自振頻率及振型，結(jié)果見表2。將拉索的第一至第十階自振頻率的理論解與ABAQUS的計算結(jié)果進行比較，結(jié)果見表3。
拉索第一階至第十階自振頻率數(shù)值解表2
自振頻率階次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻率數(shù)值解
1.144 2.288 3.431 4.574 5.716 6.856 7.995 9.133 10.268 11.401
頻率計算結(jié)果比較表3
自振頻率階次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻率解析解
1.147 2.295 3.442 4.590 5.737 6.885 8.032 9.180 10.327 11.474
頻率數(shù)值解
1.144 2.288 3.431 4.574 5.716 6.856 7.995 9.133 10.268 11.401
誤差
-0.26 -0.31 -0.32 -0.35 -0.37 -0.42 -0.46 -0.51 -0.57 -0.64
由以上分析可知，用108個相互鉸接的桿單元對拉索進行模擬，精度滿足要求。后文分析中均采用相互鉸接的個桿單元模擬拉索，具體單元數(shù)目與單元大小根據(jù)拉索的幾何尺寸而定。
5. 結(jié)論
本文運用解析法和有限單元法兩種方法進行分析計算，并且將結(jié)果進行了對比，兩種方法得到的結(jié)果吻合較好，證明了解析法和有限單元法的可靠性，可以用這兩種方法求解拉索的自振頻率來研究拉索的風(fēng)雨激振和參數(shù)共振問題。
參考文獻：
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