1. 引言

　　隨著高速公路建設(shè)的飛速發(fā)展，我們?cè)谌粘Ｉ钪兴?jiàn)到的高速公路立交橋越來(lái)越多，而且式樣也是越來(lái)越多。立體交叉是車(chē)輛匯集、分叉和轉(zhuǎn)向的核心部分。立交橋的設(shè)計(jì)的好壞直接影響到行車(chē)速度和行車(chē)安全。

　　1922年，法國(guó)著名的規(guī)劃思想家、現(xiàn)代建筑運(yùn)動(dòng)創(chuàng)始人之一勒·柯布西埃（Le Corbusier）出版了一本《明天的城市及其規(guī)劃》（The City of To-morrow and its Planning），在城市規(guī)劃研究中首先提出多層、高速的公路立體交叉的思想。

　　現(xiàn)在，立體交叉已經(jīng)從城市發(fā)展到了高速公路。高速公路上的互通式立交橋由高速公路的基本路段、立交橋、匝道、交織區(qū)、收費(fèi)口、監(jiān)控系統(tǒng)和服務(wù)設(shè)施組成了一個(gè)綜合體系。

　　立交橋的設(shè)計(jì)不僅體現(xiàn)在它的科學(xué)性，也體現(xiàn)在它的美觀性。美觀的立交橋也會(huì)讓機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員感到有所是從和和有所準(zhǔn)備，為駕駛更添一份安全因素。本文以立交橋布局設(shè)計(jì)中的曲線之美為線索，聊聊相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并用 和 這兩個(gè)數(shù)學(xué)軟件制圖，為讀者在以后的旅途中增加一些樂(lè)趣。

　　在公路運(yùn)輸領(lǐng)域里，交匯處通常使用立體化和一個(gè)或多個(gè)匝道（引道）來(lái)實(shí)現(xiàn)至少一條高速公路上的交通能通過(guò)交叉口而不直接穿過(guò)任何其他交通車(chē)流。在這里，立交橋扮演著重要的角色。

　　最常見(jiàn)的四方向高速公路立交橋有苜蓿葉型、環(huán)狀型、渦輪型、風(fēng)車(chē)型和環(huán)路型等，另外還有它們的一些混合型。我們來(lái)一一介紹。

　　由于國(guó)際上有靠右和靠左行駛兩套系統(tǒng)，而且高速公路與鐵路和市區(qū)公路也有立交，以下我們只考慮靠右行駛道路并只考慮有四個(gè)方向的高速汽車(chē)公路的立交橋設(shè)計(jì)。

　　2. 苜蓿葉立交橋型

　　最典型的是苜蓿葉型（cloverleaf interchange）。在這里“cloverleaf”，我們指的是“four-leaf clover”這種植物。苜蓿葉型也稱(chēng)為四葉型和幸運(yùn)草型。

　　典型的苜蓿葉型交匯有兩層，這樣使得所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)避免，也就是說(shuō)，讓左轉(zhuǎn)車(chē)輛行駛約270度的環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路。

　　這四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀。苜蓿葉型的優(yōu)點(diǎn)在于它只需要一個(gè)立交橋，也就是兩層交通。因此建設(shè)經(jīng)費(fèi)較少。

　　但是這樣的交叉口占地面積大，路線迂回較長(zhǎng)。更嚴(yán)重的是兩環(huán)間的路段也容易形成交織路段，直行車(chē)輛易受轉(zhuǎn)向車(chē)輛干擾，影響了高速公路的運(yùn)載能力。筆者曾經(jīng)遇到一位老年婦女在直行道上想上環(huán)形匝道卻又無(wú)法上去結(jié)果停在了直路中間，結(jié)果躲閃不及而追尾。

　　這種立交橋最早是美國(guó)新澤西州Woodbridge的兩條道路交叉處。這也是世界上的第一座立交橋。該立交的平均通量為每晝夜達(dá)62500輛，高峰小時(shí)交通量達(dá)6074輛，即每分鐘大約可容許100輛汽車(chē)通過(guò)。苜蓿葉式在全世界各地都很多。比如下面的南京繞城高速和玄武大道立交(圖1(b))。

　　圖1.(a) 苜蓿葉型立交橋的布局。

　　圖1.(b)南京玄武大道立交

　　植物學(xué)上，“clover”是三葉草。在西方很多國(guó)家（如英國(guó)、美國(guó)）長(zhǎng)有四片葉子的三葉草。四葉草是三葉草的稀有變種（圖2(a)）。據(jù)說(shuō)大約一萬(wàn)至十萬(wàn)株三葉草中才會(huì)有一株是四葉的。西方人認(rèn)為能找到四葉草是幸運(yùn)的表現(xiàn)，在日本則認(rèn)為會(huì)得到幸福，所以又稱(chēng)“幸運(yùn)草”。

　　人們對(duì)這四片葉子也賦予了含義。有一種說(shuō)法是：第一片葉子代表希望（hope）、第二片葉子表示信心（faith）、第三片葉子是愛(ài)情（love）、而多出來(lái)的第四片葉子則是幸運(yùn)（luck）的象征。

　　圖2. (a) 四葉草。

　　圖2.(b) 四葉玫瑰線。

　　數(shù)學(xué)上，我們把這樣的曲線叫做“四葉玫瑰線”（Quadrifolium）。它是由極坐標(biāo)方程生成的。顯然這是當(dāng) n = 2 時(shí)的玫瑰線 r = acos(nθ)。我們可以很容易地將“四葉玫瑰線”的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)方程 (x + y ) = 4a x y 。所以它是一個(gè)幾何虧格為零的代數(shù)曲線。

　　但如果我們需要計(jì)算它所包含的面積的話，那么還是采用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算為宜：

　　當(dāng)我們考慮曲線的長(zhǎng)度時(shí)，則需要用到第二類(lèi)橢圓積分了。在這里我們只給它的近似值：s = 9.86884…a。有人說(shuō)它像是中國(guó)結(jié)，也有道理。

　　的表達(dá)式是 PolarPlot[Cos[2t],]。建議讀者到網(wǎng)站上去做出 r = 5cos(nθ) 的圖像并讓 n 變動(dòng)起來(lái)，看看能得到一些什么圖像。用 做動(dòng)態(tài)模擬時(shí)的表達(dá)式為：

　　Manipulate[PolarPlot[5Cos[nt],,PlotRange?5],]

　　圖2(c)是它的效果圖。

　　圖2.(c) r = 5cos(nθ)

　　3. 環(huán)狀型立交橋

　　第二種立交橋是環(huán)狀型（stack interchange）。環(huán)狀型也稱(chēng)為定向式（directional interchange）。中文的“環(huán)狀”與英文的“stack interchange”并沒(méi)有直接的聯(lián)系。“stack”的意思是堆，疊加的意思。取這個(gè)名字是因?yàn)榄h(huán)狀型多為數(shù)層疊加的原因。所以翻譯成“多級(jí)立交”更為合適。

　　筆者更傾向于稱(chēng)之為定向式，因?yàn)樗屪筠D(zhuǎn)的車(chē)輛保持了左轉(zhuǎn)，而不會(huì)像上面苜蓿葉型那樣通過(guò)右轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)左轉(zhuǎn)。左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn)車(chē)輛都先從最右車(chē)道上匝道，然后二者分離，左轉(zhuǎn)車(chē)輛到相對(duì)象限里匯入到那里的右轉(zhuǎn)車(chē)輛所在匝道，然后一起并入住主車(chē)道。

　　環(huán)狀型立交沒(méi)有苜蓿葉型容易產(chǎn)生車(chē)流交織的缺點(diǎn)，也無(wú)需做270度的轉(zhuǎn)彎，但其立交橋?qū)訑?shù)多，一般多為三層，也有四層和五層的例子, 因此造價(jià)相對(duì)昂貴，也容易產(chǎn)生視覺(jué)上的景觀沖擊。

　　筆者第一次見(jiàn)到這樣的高速系統(tǒng)是在休士頓。那時(shí)候中國(guó)還完全沒(méi)有高速公路的概念，所以見(jiàn)到這樣的大型立交橋時(shí)覺(jué)得非常震撼。

　　第一座四層定向型立交橋在美國(guó)洛杉磯市，是州際I-10和US101的交匯處。它的第二、第四層為主干線，每層有六個(gè)車(chē)道；第一、第三層為左轉(zhuǎn)匝道。其最上一層高出地面14.4米，最下層低于地面6.6米。干線設(shè)計(jì)車(chē)速96公里/小時(shí)，匝道設(shè)計(jì)車(chē)速55公里/小時(shí)，交通量達(dá)75000-100000輛/晝夜，耗資約280萬(wàn)美元。現(xiàn)在在中國(guó)也有這種立交模式，比如上海延安東路就有這樣一座環(huán)狀型立交橋（圖3(b)）。

　　圖3.(a) 環(huán)狀型立交橋的布局。

　　圖3.(b) 上海延安東路的環(huán)狀型立交橋

　　不同于苜蓿葉型立交橋，我們沒(méi)有找到一條漂亮的數(shù)學(xué)曲線來(lái)代表這種形狀的立交橋。最接近的應(yīng)該是“內(nèi)旋輪線”（Hypotrochoid）。給定一個(gè)半徑為 R 的褂訕的大圓和一個(gè)內(nèi)切于大圓的半徑為 r 的小圓，從這個(gè)小圓的圓心出發(fā)做一個(gè)褂訕在小圓的射線，然后在這條射線上取一個(gè)點(diǎn) P，點(diǎn) P 可以在小圓之外。點(diǎn) P 到小圓中心的距離為 d。當(dāng)這個(gè)小圓沿著大圓的內(nèi)邊滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡就叫作“內(nèi)旋輪線”。這個(gè)曲線的參數(shù)方程是：

　　注意雖然我們把滾動(dòng)的圓稱(chēng)為小圓，其實(shí)我們并不假定 r

　　圖4. 取不同參數(shù)時(shí)的內(nèi)旋輪線。

　　內(nèi)旋輪線在 中的一般表達(dá)式是

　　使用上面的表達(dá)式以及 中的 Table，ParametricPlot 和 Grid 等指令，我們就得到了上面的圖4。

　　注意當(dāng) R = 1，r = 3/4，d = 5/13時(shí)，“內(nèi)旋輪線”最接近于環(huán)狀型立交橋。所不同的是，立交橋的四個(gè)“葉子”是尖狀的，而“內(nèi)旋輪線”是光滑的。匝道在接入主線時(shí)必須是與主線相切地接入。

　　既然我們不能用一個(gè)數(shù)學(xué)方程來(lái)描述環(huán)狀型，那么我們干脆把四個(gè)左轉(zhuǎn)匝道單獨(dú)出來(lái)，然后只看其中一段。其他匝道都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。讓我們單獨(dú)出其中的由東向南的一段左轉(zhuǎn)路線來(lái)。對(duì)于這樣的路線，最好的數(shù)學(xué)公式恐怕是貝濟(jì)埃曲線（Bezier curve）了。如下圖所示，貝濟(jì)埃曲線可以在給定的兩個(gè)點(diǎn)上按一點(diǎn)的方向連接，而這正好是匝道接入主線時(shí)所要求的。

　　圖5.(a) 環(huán)狀型立交橋由東向南的一段。

　　圖5.(b) 貝濟(jì)埃曲線示意圖。

　　目標(biāo)：

　　圖5.(c) Wolfram給出的一個(gè)圖案。

　　Wolfram用貝濟(jì)埃曲線做出了許多漂亮的花型圖案。但這些圖案都不能滿足我們這里的要求（圖5.(c)）。

　　我們還可以再進(jìn)一步，將上面的曲線做一個(gè)45o逆時(shí)針轉(zhuǎn)軸。于是我們看到的是近似于一條橢圓曲線（elliptic curve）。數(shù)學(xué)上，橢圓曲線是一個(gè)由代數(shù)方程 定義的曲線。下面圖6(b)是當(dāng) a = 1 和 b = 4 時(shí)的橢圓曲線，是用制作的。用 制作也很簡(jiǎn)單，我們略過(guò)?；跈E圓曲線數(shù)學(xué)，人們開(kāi)發(fā)了一種建立公開(kāi)密鑰加密的算法。

　　圖6.(a) 做45°逆時(shí)針轉(zhuǎn)軸后的一段匝道。

　　圖6.(b) 當(dāng) a = 1 和 b = 4 時(shí)的橢圓曲線。

　　4.渦輪型立交橋

　　第三種立交橋叫渦輪型（Turbine）。也有人把它稱(chēng)為渦流型（whirlpool）。這是環(huán)狀型立交橋的一個(gè)變形，在山區(qū)等地形復(fù)雜的地方往往有用武之地。

　　比起苜蓿葉型，它少了一些交錯(cuò)，比起環(huán)狀型，它又少了一些起伏，所以是道路設(shè)計(jì)者的一個(gè)理想的選擇。

　　最漂亮的例子大概是在美國(guó)佛羅里達(dá)州的洲際公路I-295上的一個(gè)渦輪型立交橋（見(jiàn)圖7(b)），其對(duì)稱(chēng)性近乎完美。

　　圖7.(a) 渦輪型立交橋的布局。

　　圖7. (b) 佛羅里達(dá)州的一個(gè)渦輪型立交橋。

　　為了幫助讀者理解這種立交橋的名字的來(lái)源，我們特地找了一個(gè)渦輪機(jī)葉片的例子和一個(gè)水的渦流的例子（圖8）。

　　圖8.(a) 渦輪機(jī)的葉片。

　　圖8.(b) 水的渦流。

　　數(shù)學(xué)上最接近于這種類(lèi)型立交橋的曲線應(yīng)該是螺線了。螺線的種類(lèi)有很多，比如阿基米德螺線、等角螺線（對(duì)數(shù)螺線）、雙曲螺線、費(fèi)馬螺線、歐拉螺線、對(duì)數(shù)螺線等等。用哪種螺線來(lái)與此類(lèi)交匯相比都不為過(guò)。

　　下面我們用斐波那契螺線（Fibonacci spiral）來(lái)展示。歐拉螺線也很有意思。我們希望有機(jī)會(huì)另文介紹。

　　斐波那契螺線又叫做黃金螺線（golden spiral），是對(duì)數(shù)螺線的一個(gè)特殊情況。在極坐標(biāo)系中，對(duì)數(shù)螺線的方程是

　　或

　　其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底，θ 是極角，r 是極半徑，a 和 b 為螺線常數(shù)。常數(shù) a 代表的是螺線初始時(shí)的半徑，常數(shù) b 代表的是增長(zhǎng)因子。用參數(shù)方程，上述方程變?yōu)椋?/p>

　　斐波那契螺線就是讓增長(zhǎng)因子與黃金分割數(shù) φ 掛上鉤。具體地說(shuō)就是當(dāng) θ = π/2（或者 -π/2）時(shí)，半徑增加的倍數(shù)正好是 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618。即：

　　對(duì)數(shù)螺線是自然界中常見(jiàn)的螺線。對(duì)數(shù)螺線有許多漂亮的性質(zhì)，比如對(duì)數(shù)螺線是自我相似的，經(jīng)放大后可與原圖完全相同；對(duì)數(shù)螺線之臂的距離以幾何級(jí)數(shù)遞增；對(duì)數(shù)螺線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線與其本身形成一個(gè)褂訕的角；等等。除此之外，斐波那契螺線還有一個(gè)特殊的性質(zhì)：給任意四個(gè)共線的點(diǎn) A, B, C, D，分別是當(dāng)角度為 θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π時(shí)對(duì)數(shù)螺線上的點(diǎn)。那么有交比等式：(A,D;B,C) = (A,D;C,B)。在所有對(duì)數(shù)螺線中，這個(gè)性質(zhì)只在斐波那契螺線時(shí)成立。

　　用 和 制作斐波那契螺線也很方便。下面分別是用這兩個(gè)軟件得到的四條有不同起始點(diǎn)的斐波那契螺線。

　　圖9. 四個(gè)斐波那契螺線的疊加。

　　5.風(fēng)車(chē)型立交橋

　　風(fēng)車(chē)型（windmill）立交橋類(lèi)似于渦輪型立交橋，只是拐彎處比較急，使得它的效率比起渦輪型降低了很多。荷蘭在1977年建設(shè)了這樣一條高速交叉路口，這是它建成后的樣子。后來(lái)這個(gè)路口被改造，已經(jīng)變得非常復(fù)雜。

　　圖10.(a) 風(fēng)車(chē)型立交橋的布局。

　　圖10.(b) 荷蘭建成的一個(gè)風(fēng)車(chē)型立交橋。

　　風(fēng)車(chē)型這個(gè)名字顯然來(lái)自于風(fēng)車(chē)的形狀。它的四個(gè)左轉(zhuǎn)路很像是風(fēng)車(chē)的四個(gè)葉片。下面是在奧地利雷茨市的一個(gè)古老的風(fēng)車(chē)（圖11(a)）。

　　圖11.(a) 位于奧地利的一個(gè)風(fēng)車(chē)。

　　圖11.(b) 紙風(fēng)車(chē)。

　　下面左圖是用 制作的風(fēng)車(chē)的圖案。圖案的方程是：

　　建議讀者在 上用不同的 a 和 b 的值來(lái)看看將會(huì)得到什么曲線。結(jié)果一定讓你驚訝。

　　圖12.(a) 用三角函數(shù)畫(huà)出的風(fēng)車(chē)。

　　圖12.(b) 追蹤曲線（）

　　圖12.(c) 追蹤曲線（）

　　Wolfram有一個(gè)網(wǎng)頁(yè)專(zhuān)門(mén)介紹這個(gè)問(wèn)題。上面圖12(c)是其效果圖。

　　6.環(huán)島型立交橋

　　高速公路上環(huán)島型（roundabout）立交橋是由三層道路組成：兩個(gè)垂直的道路和一個(gè)在中間一層的匝道。主要干道上的交通不受管制。所有需要轉(zhuǎn)彎的車(chē)輛都右轉(zhuǎn)上匝道，然后真正需要右轉(zhuǎn)的從第一個(gè)路口出去，需要左轉(zhuǎn)的車(chē)輛從第三個(gè)路口出去。下面是荷蘭的一個(gè)三層環(huán)島型立交橋（圖13(b)）。

　　圖13.(a) 環(huán)島型立交型的布局。

　　圖13.(b) 荷蘭的一個(gè)三層環(huán)島型立交橋。

　　從數(shù)學(xué)上看，在所有類(lèi)型的立交橋當(dāng)中，最缺少數(shù)學(xué)曲線之美的就是環(huán)島型立交橋了：它不過(guò)是一個(gè)直角坐標(biāo)系加一個(gè)單位圓。為統(tǒng)一起見(jiàn)，我們也把它的方程列在這里。單位圓的極坐標(biāo)方程為r=1，直角坐標(biāo)方程為 x +y =1，參數(shù)方程為

　　如果覺(jué)得這個(gè)太不過(guò)癮的話，我們也可以聯(lián)想一下其他數(shù)學(xué)概念。在抽象代數(shù)里，直和（direct sum）一般是用符合⊕來(lái)表示。例如，假定 R 是實(shí)數(shù)空間，那么直和 R⊕R 就是XY平面 R 。這個(gè)概念在抽象代數(shù)里發(fā)揮了重要作用。在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematical morphology）里，⊕是膨脹算子。另外，在天文學(xué)和占星學(xué)中，⊕代表地球。

　　7.混合型立交橋

　　在實(shí)際的規(guī)劃設(shè)計(jì)中，大量的立交橋是上面五種橋型的變異和混合。將苜蓿葉型和環(huán)狀型結(jié)合起來(lái)就得到了環(huán)狀苜蓿葉型（CloverStack）。它不但可以擁有環(huán)狀型立交橋的優(yōu)點(diǎn)，造價(jià)也相對(duì)便宜。在苜蓿葉型上增加集散道（cloverleaf with collector/distributor roads）就解決了主干道上車(chē)流受干擾的麻煩。也有一半渦輪型和一半環(huán)狀型的混合型（Turbine-stack hybrid），部分苜蓿葉型（Parclo），鉆石型（Diamond），分道排球型（Divided volleyball），U形轉(zhuǎn)彎型（U-turns），等等。我們不再一一介紹。

　　圖14. 各種混合型和改進(jìn)型立交橋

　　近年來(lái)，由于收費(fèi)的需要，還發(fā)展了雙喇叭型（double-trumpet）立交。我們也略去不談。

　　8.立交橋和凱爾特結(jié)

　　所有的標(biāo)準(zhǔn)立交橋都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：它們都具有多條交織的、暢通無(wú)阻的和具有一定對(duì)稱(chēng)性的曲線。在這一點(diǎn)上，立交橋很像凱爾特結(jié)（Celtic knot）。凱爾特結(jié)是一種由連續(xù)不斷的緞帶組成的結(jié)和程式化的圖案，它們創(chuàng)造出精美復(fù)雜的曲線陣列（比如籃子編織結(jié)）。這些結(jié)被用于裝飾基督教的紀(jì)念碑和文稿。凱爾特結(jié)作為凱爾特文化中的重要標(biāo)志歷來(lái)深受歐洲人的喜愛(ài)。

　　圖15. 凱爾特結(jié)的兩個(gè)例子。

　　上圖的第二個(gè)凱爾特結(jié)是一位叫Xah Lee的寫(xiě)手上了顏色的，目的就是讓人們可以清楚地看清結(jié)的走向。事實(shí)上，整個(gè)中間的十字架都是一條緞帶。使用不同顏色是為了讓讀者看清路徑，否則整條結(jié)都是一個(gè)顏色了。這這里，我們注意到凱爾特結(jié)的幾何布局多樣勻稱(chēng)和連續(xù)貫通。我們同樣應(yīng)該注意到凱爾特結(jié)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?？傊瑒P爾特結(jié)的這兩個(gè)方面與高速公路的均勻性、對(duì)稱(chēng)性和連通性有著驚人的相似之處。對(duì)凱爾特結(jié)的數(shù)學(xué)性質(zhì)研究似乎不多，但已經(jīng)證明，凱爾特結(jié)和交錯(cuò)結(jié)（alternating knot，即有交錯(cuò)的投影圖）是等價(jià)的。

　　也許有讀者會(huì)注意到，凱爾特結(jié)很多用在了十字架上，而這個(gè)結(jié)構(gòu)與前面提到的環(huán)島型立交橋很像。這的確是事實(shí)，而且專(zhuān)門(mén)有一個(gè)詞就是凱爾特十字（Celtic cross），描述的就是這類(lèi)凱爾特結(jié)。但不幸的是，凱爾特十字被一個(gè)已被禁止的新納粹黨所采用，故德國(guó)政府禁止這個(gè)標(biāo)志的公眾展示。其政治和公眾上對(duì)此標(biāo)志的禁止是為了防止納粹主義的復(fù)蘇。我們也只好在此回避把凱爾特十字與本文的主題聯(lián)系起來(lái)。

　　9.右轉(zhuǎn)匝道的情況

　　以上的討論都是關(guān)于左轉(zhuǎn)的情況。右轉(zhuǎn)的匝道一般都是鉆石型的。在下面的圖16(b)里，左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn)都使用了鉆石型，所以是全鉆石型（full diamond）。

　　圖16.(a) 鉆石型立交型的布局。

　　圖16.(b) 美國(guó)俄克拉荷馬市的一個(gè)全鉆石型立交橋。

　　這種鉆石型的立交橋可以對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的星形線（astroid）。星形線的直角坐標(biāo)方程是x2/3 + y2/3 = a2/3，極坐標(biāo)方程是r = a(cos2/3θ + sin2/3θ)x3/2，參數(shù)方程是：

　　星形線是一個(gè)幾何虧格為0的代數(shù)曲線的實(shí)數(shù)軌跡，其方程式為：(x +y -a ) +27a x y =0。因此，星形線為六次曲線，在實(shí)數(shù)平面上有四個(gè)尖瓣的奇點(diǎn)，分別是星形線的四個(gè)頂點(diǎn)，在無(wú)限遠(yuǎn)處還有兩個(gè)復(fù)數(shù)的尖瓣的奇點(diǎn)，四個(gè)重根的復(fù)數(shù)奇點(diǎn)，因此星形線共有十個(gè)奇點(diǎn)。

　　星形線是一個(gè)特殊的超橢圓（superellipse）。超橢圓是指滿足方程

　　的曲線，其中 n, a, b都是正實(shí)數(shù)。顯然，星形線就是當(dāng)a=b，n=2/3時(shí)的一個(gè)特例。只要 0

　　我們最后來(lái)看看如何用 得到這一族超橢圓。先令 a=b=1; r =1.1，然后做

　　圖17(b)是效果圖。

　　圖17.(a) 星形線。

　　圖17. (b) 超橢圓。

　　星形線還能被看作是一條有四個(gè)尖點(diǎn)的內(nèi)擺線（hypocycloid）。內(nèi)擺線也叫做圓內(nèi)螺線。假設(shè)有一個(gè)定圓，若有另一個(gè)半徑是此圓半徑的1/n+1倍的圓在其內(nèi)部滾動(dòng)，則圓周上的一定點(diǎn)在滾動(dòng)時(shí)劃出的軌跡就是一條內(nèi)擺線（圓內(nèi)螺線）。顯然，內(nèi)擺線是一類(lèi)特殊的內(nèi)旋輪線。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)討論過(guò)這類(lèi)曲線。

　　10.結(jié)束語(yǔ)

　　本文僅僅是以高速公路立交橋布局的不同特徵為線索介紹一些有意思的數(shù)學(xué)曲線，并著重演示了使用 和 作圖的威力。當(dāng)然，如果我們考慮更多的立交橋的類(lèi)型，我們一定還會(huì)聯(lián)系到更多漂亮的數(shù)學(xué)曲線。這個(gè)工作就留給讀者吧。